Himpunan Bilangan Dan Operasinya

DEFINISI HIMPUNAN

• Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas
• Himpunan dinyatakan dengan huruf besar (KAPITAL) seperti A, B, C, dan sebagainya. Sedangkan anggota himpunan atau objek dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b, c, dan sebagainya
• Himpunan A sama dengan himpunan B, ditulis A = B, jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A. Dengan kata lain, A dan B memiliki anggota yang benar-benar sama
• Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, ditulis Æ atau {}
• Dalam teori himpunan, semua himpunan yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu. Himpunan tertentu ini merupakan himpunan semesta atau semesta pembicaraan, dilambangkan dengan S atau U.

Contoh:

Himpunan bilangan real merupakan semesta dari himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan bulat

CARA PENYAJIAN HIMPUNAN

           1.     Enumerasi:

mendaftarkan semua anggotanya dan diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma

Contoh:

      Himpunan lima bilangan asli pertama:

A = {1, 2, 3, 4, 5}.     

      Himpunan lima bilangan genap positif pertama:  

B = {2, 4, 6, 8, 10}

2. Simbol baku:

            menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati

            Contoh:

            P =  himpunan bilangan bulat positif         

            N =  himpunan bilangan asli (natural)

            Z =   himpunan bilangan bulat

            Q =  himpunan bilangan rasional

            R =  himpunan bilangan real

            C =  himpunan bilangan kompleks

           3.     Notasi pembentuk himpunan:

dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota.

Contoh:

A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat}

B = {x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil 

mata kuliah “Matematika Dasar”}

4. Diagram Venn:

            menyajikan himpunan secara grafis. Pada umumnya tiap himpunan digambarkan dengan  lingkaran dan himpunan semesta (S atau U) digambarkan dengan segiempat

CONTOH SOAL

1. Diketahui : A = {1,2,3,4}

                                  B = {2, 3, 5, 7, 8}

a. Tentukan A Ç B

b. Gambarkan diagram vennya

jawab :

A = {1,2,3,4}

B = {2,3,5,7,8}

A Ç B = {2,3}

HIMPUNAN DAN HIMPUNAN BAGIAN

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis A Ì B, jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, tetapi tidak semua anggota B merupakan anggota A

Contoh:

A = {a, b}; B = {a, b, c}; C = {a, b, c, d}

maka A Ì B; A Ì C; B Ì C

Jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, dan setiap anggota B juga merupakan anggota A, maka A Ì B dan    B Ì A, atau dengan kata lain A = B

            Contoh:

            A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 1, 4, 5, 2}

            maka A = B

Jika A Ì B dan B Ì C, maka A Ì C

Contoh:

A = {a, b}; B = {a, b, c}; C = {a, b, c, d}

terlihat bahwa A Ì B dan B Ì C.

Berdasarkan pernyataan di atas maka

A Ì C, dan jika kita periksa, memang benar bahwa A Ì C

KARDINALITAS

Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinct) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set).

Jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi : n(A) atau |A|

OPERASI DALAM HIMPUNAN

 1.     Gabungan

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota A dan B, ditulis A È B

Operasi gabungan bersifat komutatif:

A È B = B È A

2.     Irisan

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota A dan juga menjadi anggota B, ditulis ditulis A Ç B

Operasi irisan bersifat komutatif:

A Ç B = B Ç A

3.     Selisih

Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota A tetapi tidak menjadi anggota B, ditulis A – B

Selisih himpunan B dan himpunan A adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota B tetapi tidak menjadi anggota A, ditulis B – A

Perhatikan bahwa A – B ≠ B – A

4.     Komplemen

Komplemen himpunan A adalah himpunan semua objek yang bukan anggota A, atau selisih himpunan semesta S dengan himpunan A, ditulis A^C atau A‘ atau

Jadi A^C = A‘ = S - A

5.     Selisih Simetris

Selisih Simetris dari himpunan A dan B ditulis A + B adalah gabungan dari selisih A terhadap B dengan selisih B dengan A

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, dan

himpunan semesta S adalah himpunan

semua bilangan bulat positif

Maka

A^C = {5, 6, 7, 8, 9, …}

B^C = {1, 2, 8, 9, 10, …}

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, maka

A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B È A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A Ç B = {3, 4}

B Ç A = {3, 4}

A – B = {1, 2}

B – A = {5, 6, 7}

A + B = { 1, 2, 5, 6, 7}

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, dan

himpunan semesta S adalah himpunan

semua bilangan bulat positif

Maka

A^C = {5, 6, 7, 8, 9, …}

B^C = {1, 2, 8, 9, 10, …}